世界上已知的最大素?cái)?shù)

世界上已知的最大素?cái)?shù)

前不久，來自美國(guó)佛羅里達(dá)州的互聯(lián)網(wǎng)專家、數(shù)學(xué)愛好者帕特里克·拉羅什利用“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)項(xiàng)目，成功發(fā)現(xiàn)了第51個(gè)梅森素?cái)?shù)；它是目前世界上已知的最大素?cái)?shù)——2^82589933-1，有24862048位數(shù)。如果用普通字號(hào)(指word文檔默認(rèn)的字體字號(hào))將這一巨數(shù)打印下來，其長(zhǎng)度將超過100公里！

素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù)，是在大于1的自然數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)，如2、3、5、7、11等等。數(shù)論中，每個(gè)自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，素?cái)?shù)因此構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石。2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，并提出一些素?cái)?shù)可寫成“2^P-1”（即2的P次方減1，其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)）的形式，如2^2-1(=3）、2^3-1(=7)、2^5-1(=31）、2^7-1(=127)、2^13-1（=8191）等。

由于2^P-1型的素?cái)?shù)具有獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)性質(zhì)，千百年來許多著名數(shù)學(xué)家以及無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者對(duì)它情有獨(dú)鐘。17 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森是他們中最杰出的探究者。由于他學(xué)識(shí)淵博、才華橫溢、為人熱情以及最早系統(tǒng)而深入地研究2^P-1型素?cái)?shù)，為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界將這種特殊形式的素?cái)?shù)命名為“梅森素?cái)?shù)”。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)；這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因而被人們譽(yù)為“數(shù)學(xué)寶庫(kù)中的鉆石”。

梅森素?cái)?shù)貌似簡(jiǎn)單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí)，其素性檢驗(yàn)的難度就會(huì)很大；此外，它的探究需要高深的理論和純熟的技巧，以及艱巨的計(jì)算。例如：1772年，瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2的31次方減1)是個(gè)素?cái)?shù)；該數(shù)有10位（2147483647），堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛，一共才找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。

電子計(jì)算機(jī)的誕生，尤其是互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)，大大加快了探究梅森素?cái)?shù)的步伐。1996年初，美國(guó)數(shù)學(xué)家、程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁(yè)上供人們免費(fèi)使用。這一計(jì)算程序就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目，也是全球首個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計(jì)算項(xiàng)目。網(wǎng)格計(jì)算就是通過利用大量異構(gòu)計(jì)算機(jī)的未用資源，為解決大規(guī)模的計(jì)算問題提供一個(gè)新的模型。

現(xiàn)在只要人們?nèi)IMPS的主頁(yè)下載一個(gè)名為“Prime95”免費(fèi)程序，就可以立即參加GIMPS項(xiàng)目來搜尋梅森素?cái)?shù)了。目前，世界上有200多個(gè)國(guó)家和地區(qū)近25萬在線網(wǎng)民參與GIMPS項(xiàng)目，并動(dòng)用了超過247萬核的中央處理器(CPU)聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素?cái)?shù)?？梢?，梅森素?cái)?shù)的探究非常火爆；這在數(shù)學(xué)史上前所未有，在科學(xué)史上也極為罕見。

特別值得一提的是，在梅森素?cái)?shù)的素性判斷方面，法國(guó)數(shù)學(xué)家愛德華·魯卡斯和美國(guó)數(shù)學(xué)家德里克·雷默都做出了重要貢獻(xiàn)；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測(cè)梅森素?cái)?shù)素性的最佳方法。在梅森素?cái)?shù)分布研究方面，中國(guó)數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家周海中在1992年給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式；這一研究成果被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。

從古至今，幾乎所有的“最大素?cái)?shù)”都是梅森素?cái)?shù)。由于梅森素?cái)?shù)的探究在當(dāng)代需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認(rèn)為：梅森素?cái)?shù)的探究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平。英國(guó)數(shù)學(xué)家馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為：梅森素?cái)?shù)的探究可以挑戰(zhàn)人類科技與智慧極限，其成果是一個(gè)國(guó)家科技創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志之一。因此，梅森素?cái)?shù)的探究還會(huì)繼續(xù)下去，直到永遠(yuǎn)。

文/曾浩(作者單位：瑞士蘇黎世大學(xué)理學(xué)院)

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